相对运动竞赛讲座

相对运动专题

第一部分：赛题解读与训练

例1：商场中有一自动扶梯，某顾客沿开动上行的自动扶梯走上楼时，数得走了16级，当他用同样的速度相对扶梯沿向下开动的自动扶梯走上楼时，数得走了48级，则静止时自动扶梯露出的级数为多少？

点拨：分析人和电梯在整个过程中的运动情况，电梯在整个运动过程中的速度不变，可知人向上和向下的运动时间之比为16∶48. 由人沿电梯上行和下行所走的路程相等，都等于一个楼层的高度，建立方程即可求解.

解：电梯运动速度不变，可知 得：

而人向上和向下的路程等于梯层的高度，可知：

得：

上式中， 将这些数据代入上式可得：

∴楼梯的高度为

答：静止时自动扶梯露级数为24级。

点评：两个物体沿同一直线运动，讨论两个物体运动速度关系，在分析每个物体运动情况时，要注意运动的相对性．明确运动的参照物。

竞赛训练

一、选择题：

1．一船往返于甲、乙两码头之间，顺水行驶时速度为v₁，逆水行驶时速度为v₂，船往返一次的平均速度为（ ）D

A. B. C. D.

2．小船以速度v从河边A点沿河岸划至B点又返回A点。不计船掉头时间，若水不流动时往返时间为t，那么水速为v₀时，往返时间为（ ）C

A. B. C. D.

3. 小船往返于沿河的甲、乙两地。若河水不流动，往返一次需要时间t₁，若河水流动，则往返一次需要时间t₂则（ ）C

A．t₁＝t₂ B．t₁＞t₂ C．t₁＜t₂ D．由船速和水速决定

4．甲、乙两辆车沿平直的公路通过同样的路程。甲车在前半段和后半段的路程上分别以40km/h和60km/h的速度运动；乙车在前半段和后半段的时间内分别以40km/h和60km/h的速度运动，则甲、乙两车在整个路段中的平均速度v甲和v乙的关系是（ ）C

A. B. C. D.无法判断

5．某商场的自动扶梯在0.5min内，可以把站在扶梯上的顾客送到二楼。如果扶梯不动，人走上去需要1.5min，那么人沿着开动的自动扶梯走上去，需要的时间（ ）C

A. 2min B. 1min C. min D. 0.5min

二、计算题

6．有艘汽艇，顺着河流从甲地到乙地要行驶3h，逆水返回要行驶6h，如果汽艇不用发动机，顺流从甲地漂流到乙地，需多少时间？（12h）

7．一只船在甲、乙两码头间往返一次的平均速度是24m/s．已知水流的速度是5m/s，则这只船在静水中的速度是多少m/s？（25m/s）

8．小明在地下铁路出口处的自动扶梯上做了如下实验：在自动扶梯上不动，经过2min可以乘自动扶梯从地下上升到地面。在自动扶梯不运行时，他沿扶梯快速向上行走，经1min从地下走到地面。在此基础上，他通过计算得到两项结果：

（1）在扶梯运行时，他同时沿扶梯向上行走，从地下上升到地面所用时间t₁；

（2）在自动扶梯运行时，他从地面沿扶梯向下行走，从地面走到扶梯底端所用时间t₂ (已知他相对自动扶梯行走的速度始终是相同的)。随后他又在自动扶梯上通过实验验证，实验结果与他的计算结果是一致的。请你计算一下t₁和t₂的数值各多大。（40s 、2min）

解题提示：

1、

2、水不流动时： 可得 ………………①

水以v₀流速流动时，往返所用时间为： ……②

把①代入②得：

3、假设河水速度与船速度相等，则t₂无限大，由此可知答案为：t₁＜t₂

6、设甲、乙两地间的路程为S，船速为v，水速为v水，由已知得：

顺水时： …………………………①

逆水时： …………………………②

由①②可得： 即汽艇从甲地漂流到乙地需用12h

第二部分：竞赛辅导

相对运动问题一

1．车站上，坐在火车里的乘客从窗口发现有两列火车沿相反的方向运动，由此得出的下列判断中错误的是：（ ）

A．乘客坐的火车和看到的两列火车中一定有两列在沿相反方向运动；

B．乘客坐的火车可能在运动；

C．三列火车可能沿同一方向运动；

D．三列火车中可能有一列是静止的。

思路点拨

乘客乘坐的火车可能是停在车站，也可能是正在通过车站，即它可能是静止的，也可能是运动的．而乘客看到别的车是否运动，则是以他自己坐的车为参照物而得出的结论．可见，选项中的B、D是可能的．

若乘客所乘坐的车A正在运动．而另外有两车B和C也在沿与A车运动方向相同的方向运动，但三者的速度大小不等，其关系为v_B＞v_A＞v_C．则此时在A车上的乘客看来，B车在向前进，而C车则在向后退，故得到B车和C车沿相反方向运动的结论．而事实上此时是三车在沿同一方向运动．可见选项C是正确的，而选项A是错误的．

答案：A

引申拓展

本题为一个相对运动的问题，涉及此类问题时，一定要注意所讲的运动是以谁为参照物而得到结论，例如本题中，乘客看到的两列火车的运动是以乘客自己为参照物(即以他所乘坐的火车为参照物)而得出的结论．而题文中各选项中所提的车的运动都是以地面为参照物所得出的结论．

以上的解答中，是针对题述的情况而用几个特例，即对各选项进行了肯定或否定，而并未对符合此题论述的所有情况进行全面的论述，建议有兴趣的读者，可将符合题述条件的各种可能情况都列举出来，进行分析和讨论．

2. 甲、乙两列火车，车长分别为Ｌ₁和Ｌ₂，在相邻的两条轨道上，甲车以速度v₁向东匀速行驶，乙车以速度v₂向西匀速行驶，则甲、乙两列火车从相遇到离开所需时间为 。

思路点拨

如图，分别表示出了两车相遇和相离时刻的位置．以t表示两车由相遇到相离的时间，则在这段时间内两车通过的距离分别为：S₁＝ v₁t，S₂＝ v₂t

由图可以看到，s1与s2之和应等于两车长度之和，即应有：S₁＋S₂＝L₁＋L₂

联立以上三式可解得

答案:

本题也可根据相对运动来求解，即以甲车为参照物，它看到乙车的速度(即乙车相对于甲车的速度)大小为(v₂＋v₁)，而在此过程中，它看到乙车通过的距离为L_l＋L₂，则所经历的时间应为：

相对运动问题二

1. 从地面上看，通信用的地球同步卫星是静止不动的。它运行一周所用的时间是：[ ]

A. 24小时； B. 23小时56分； C. 24小时4分； D. 24小时56分。

思路点拨

通信用的地球同步卫星在地面上看来是静止不动的，相当于它随地球自转在一道转动，因此，地球自转一周的时间也就是此卫星运转一周的时间．严格地说来，地球自转一周的时间应该是一个“恒星日”，(即23h56min)，而不是一个“太阳日”(即24h)．

答案：B

引申拓展

地球同步卫星是在赤道上空离地面的某一确定高度上绕地球转动的卫星，由于它绕地球转动的快慢与地球自转的快慢相同，所以相对于地球来说，它就相当于总在赤道上空的这一点不动一样．

地球的运动包括它绕太阳的转动(公转)和它绕地轴的转动(自转)，地球上的人感受到一昼夜为24h，是太阳连续两次经过地球上同一位置的正上方所用的时间，这种时间我们称之为一个太阳日．由于地球不仅有自转，还有公转，所以实际上在这段时间内地球所转过的不是一整周(相当于角度360°。)而是比一整周多一些，而对应于地球真正只转一整周的时间，我们则称之为一个恒星日．一个恒星日的时间小于一个太阳日的时间，一个恒星日的时间为23h56min．

2．李明同学放学回家，正碰上刮风下雨，他以18km/h的速度由西向东快跑，此时他发现了奇怪的现象，雨滴成竖直下落状态，请你确定，这时刮的是____风，风速是___m/s

思路点拨

地面上刮风时，风的速度方向与地面平行，即沿水平方向，此时若下雨，则雨滴一方面由于受重力作用而沿竖直方向下落．另一方面又由于风对它的作用使它沿水平方向也发生运动，可以想象，当雨滴在水平方向的运动速度小于风的速度时，在水平方向上风相对于雨滴总是有向前的速度，由此风还会把雨滴向前带动使之具有更大的水平方向的速度，只有当两者在水平方向的速度相等时，两者在水平方向上方无相互作用，雨滴在水平方向上的速度才不会再变化，所以，若把风中的雨滴下落的运动从水平和竖直两个方向来看，则雨滴将一方面以某一速度沿竖直方向下落，另一方面则具有一个和风速相同的水平方向的速度随风一道运动．

人在雨中奔跑的速度是沿水平方向的，他若感到此时雨滴是沿竖直方向下落，表明此时人与雨滴之间在水平方向上没有相对运动，即人和雨滴在水平方向上的速度是相同的，又由上分析知此时雨滴在水平方向上的速度与风速相同，可见此时人奔跑的速度与风的速度相同．故知此时刮的是西风，风速是18km／h，即5m／s．

答案：西，5

相对运动问题三

A、B两辆车以相同速度v₀同方向作匀速直线运动，A车在前，Ｂ车在后．在两车上有甲、乙两人分别用皮球瞄准对方，同时以相对自身为2 v₀的初速度水平射出，如不考虑皮球的竖直下落及空气阻力，则（　）
　　A．甲先被击中
　　B．乙先被击中
　　C．两人同时被击中
　　D．皮球可以击中乙而不能击中甲

思路点拨

甲球抛出时对他的速度为：v_甲＝2v₀－v₀＝v₀，方向向后；

乙球抛出后对他的速度为：v_乙＝2 v₀＋ v₀＝3 v₀，方向向前，设两车相距s远，则甲球自抛出至击中乙所需的时间为：

乙球自抛出至击中甲所需的时间为：

可见t₂＝t₁，说明两人同时被击中．

答案：C

引申拓展

本题可用相对运动的知识来求解．由于A、B两车运动速度相同，即A、B之间没有相对运动，故甲、乙两人间也没有相对运动．则甲以相对于自身速度为2v₀的球射向乙，这个球相对于乙的速度也就是2v₀，设甲、乙间的距离为s，则甲抛出的球至击中乙需用时间为

同理，乙以相对于自身速度为2v₀的球射向甲，此球相对于甲的速度也就是2v₀，则乙抛出的球至击中甲所需的时间为：

惯性问题一

1.运输液体货物的槽车，液体上有气泡，如图，当车开动时，气泡将向 运动；刹车，气泡将向 运动，其原因是 具有惯性。

思路点拨

由于液体的密度比气体的密度大得多，故在题述槽车内，气泡的质量比同体积液体的质量小得多，则气泡的惯性也就比同体积液体的惯性小得多，故当运货槽车的运动状态发生变化时，表现出来的就是液体的惯性．这样，当车开动时，车内液体由于惯性要保持原有静止状态就会相对于车向后挤，由此将使气泡相对于车向前运动；当车突然刹车时，车内液体由于惯性要保持原有速度继续向前运动，这样就会相对于车向前挤，由此将使气泡相对于车向后运动．

答案:前，后，液体

2．按我国交通管理部门最近规定，坐在小汽车前排的司机和乘客都应在胸前系上安全带，这主要是为了减轻在下列哪种情况出现时可能对人造成的伤害。 [ ]

A．车速太快。 B．车速太慢。C．紧急刹车。 D．突然起动。

思路点拨

在题述的几种情况中，车速很快，只要车行驶平稳，就不会对司机和乘客造成伤害；至于车速太慢和车在突然起动时，一般也不会对司机和乘客造成伤害，而当车原来速度又很大且突然紧急刹车时，则由于惯性，司机和乘客此时都会相对于车骤然往前冲，此时则容易使人受到伤害，系安全带就是为了避免在这种情况下出现伤害事故的．

答案：C

惯性问题二

1．有一架飞机沿水平向左做匀速直线运动，每隔1秒钟从飞机上轻轻释放一小球，当三只小球落下且均未落至地面时，若不计空气阻力，则这三只小球在空中的排列情况应是下图中的哪一个 [ ]

答案：三只小球从匀速直线运动的飞机上释放后，间隔时间很短，由于惯性，释放后的小球仍能保持原来的运动状态，继续向左运动一段路程，故三只小球在空中的排列情况应是C图。

2．托车做飞跃障碍物的表演时为了减少向前翻车的危险，下列说法中正确的是： [ ]

A．应该前轮先着地； B. 应该后轮先着地；

C. 应该前后轮同时着地； D. 哪个车轮先着地与翻车的危险没关系。

思路点拨

摩托车做飞越障碍物表演落地时，车具有很大的速度，而落地点的地面则通过车的落地点对车施以阻力作用而使车减速，由于惯性，车还要维持原来速度前进，由此，车落地后便有绕这一点转动地趋势．若是车的后轮先落地，则落地后车的上述转动趋势为车身绕后轮转动使车头向地面下方转，这一转动趋势由车的前轮受到地面的支持力的作用而阻止，故不会由此发生翻车的危险．若是车的前轮先落地，则落地后车的上述转动趋势为车身前轮转动使车尾向地面上方转，只要这种转动的作用足够强将使车的后轮不会落地并造成向前翻车的事故．

由上可见，为避免事故，摩托车做飞越障碍物表演时，应该使其后轮先落地．

答案:B

速度问题一

1．火车在进入隧道前必须呜笛。若火车速度为80千米／时，声音在空气中的速度是340米／秒，司机在鸣笛后2秒时听到自隧道口处的山崖反射的回声，则鸣笛时火车到隧道口的距离是_______米。

思路点拨

如图，设火车在A处发出鸣笛声，山崖在C处，火车行驶至B处就听到山崖反射的鸣笛声．设这段经历的时间为t，以l表示A、C间的距离，v1表示空气中的声速，v2表示火车行驶的速度，则由图可见，在这段时间内，火车行驶的路程与声音通过的路程之和为2l，即

v₁t+v₂t=2l

并注意到v2=80km／h=22m／s则由前式可解得

答案：362

2.电视台把无线电信号传送到高空中的通信卫星上，卫星再把信号传到地面上的其他地区，这样就实现了卫星电视传播。在调试过程中，电视台本身也需要接收卫星传回的信号，并和演播室用电缆传来的信号进行比较。这时发现，卫星传来的画面上，人物动作的变化总比电缆传来的画面上相应的变化发生得晚一些。

（1）解释产生这种时间延迟的原因。

（2）已知通信卫星的高度大约是36000千米，无线电信号传播的速度与光速相同，估算画面延迟的时间。

思路点拨

（1）这里的信号传播有两条途径：一条是由演播室经电缆传至调试室，另一条是由演播室传至通信卫星，再由通信卫星传至演播室，显然后一条传播途径所经历的路程远比前一条传播途径所经历的路程长，而电信号在这两条传播途径上传播速度又相等，故后一途径所用的时间就比前一途径传播所用的时间长，因而后一途径传来的画面，总是“落后”于前一途径传来的画面，故而形成由卫星传来的画面上，人物动作的变化总比电缆传来的画面上相应的变化发生得晚一些．

（2）由于无线电信号传播的速度与光速相等，即为v=3×10⁸m／s故上述由电缆传播的时间极短，可以忽略不计．而信号经由卫星往返所需的时间则为

由于经电缆传播的时间可以忽略，故上述的0．24s也就是画面延迟的时间．

速度问题二

1．著名短跑运动员卡尔·刘易斯曾以9.86秒跑完100米。在这次赛跑中，从起跑点算起每10米所用时间分别是：1.88秒、1.08秒、0.92秒、0.89秒、0.84秒、0.84秒、0.84秒、0.83秒。最后20米用了1.74秒。从这组数据可以算出，他跑完100米的平均速度是______米/秒，平均速度最小的是第______个10米，平均速度最大的是第________个10米。

思路点拨

在某一段时间内，物体运动所通过的距离与这段时间的比值，叫物体在这段时间内的平均速度(或叫物体通过这段距离的平均速度)，可见说“平均速度”必须明确是指哪一段时间内的(或是物体通过哪段距离的)．由题给数据，显然容易求出刘易斯跑百米时依次通过每个10m所用的平均速度和他通过全程的平均速度。

答案:10.1，1，8

2．端午节举行龙舟大赛。开始阶段甲队落后于乙队。甲队急起直追。从甲队船头追上乙队船尾到甲队船尾超过乙队船头，共历时80秒。已知两队船长均为10米，乙队划船速度保持为7米／秒不变，甲从超越乙队的过程中船速也不变，那么甲队超越乙队时船的速度为______米／秒。

思路点拨

甲队由追上乙队至超越乙队的过程，由甲队的船头与乙队的船尾相平至甲队的船尾与乙队的船头相平，可见此过程中甲队比乙队多行驶的距离的两个船身长，即为20m．现以v甲和v乙分别表示两船的速度，以t表示甲队超越乙队所用的时间，以l表示一个船长，则由上述可列方程为

v甲t一v乙t=2l

以t=80s、v乙=7m／s、l=lOm代入上式可解得

v甲=7．25m／s

答案:7．25

引申拓展

熟悉相对运动的同学也可以用相对运动的关系来解此题．在此过程中，甲相对于乙(即以乙为参照物)行驶的距离为2l，所用时间为t，则甲相对于乙的速度为

而甲船的速度是指甲船对地的速度，故有

v甲=v乙+v甲对乙＝7m／s+0．25m／s=7．25m／s

速度问题三

表1是上海港客轮运行时刻（上海——武汉）表．请根据表1，回答下列问题：
　　 表1

　　（1）根据表1中数据，估算南京——南通段长江的平均流速；
　　（2）“江汉”轮在武汉——上海之间作往返航行，试问该船有无可能在上海至武汉航行途中，经过某一地点的时刻恰好是该船由武汉驶往上海途中经过该地点的时刻（不考虑日期），如有可能，这种情况共有几处？若以正常航班计算，第一处和最后一处分别在哪些航段？
思路点拨

(1)由客轮运动时刻表可以查出南通到南京的距离和上行船通过这段距离所用的时间、下行船通过这段距离所用的时间，据此即可求出江水在这一段的平均速度．

(2)若上海至武汉的(上行的)“江汉”轮在航行途中的某处遇到由武汉开往上海的(下行的)“江汉”轮，则表明该船在由武汉返回上海时也会在某日的同一时刻经过这一位置．因此，该船在上海至武汉的全部航程中，遇到几条下行的“江汉”轮，就表明有几处是该船在上行和下行中同一时刻(不考虑日期)通过的地点．

答案:

(1)设南京至南通段长江的水流平均速度为v₀，而该船在静水中的航行速度为v，以s表示南京至南通的航线长度，由表中可查得

s＝264km

以t上和t下分别表示“江汉”轮上行和下行通过这段航程的时间，查表有

t上＝31：00—18：10—0：20＝12：30＝12.5h

t下＝29：50—19：30一(0：20＋0：10＋0：20)＝9：30＝9.5h

船上行时，航速为(v一v₀)，则有

s＝(v一v₀)t上

船下行时，航速为(v＋v₀)，则有

s＝(v＋v₀)t下

由上两式解得

(2)由上分析知，若两地之间上行船和下行船有交叉的时间，则在这段航线中必有一地为上行船和下行船的相遇之处，即上行船过这一位置的时刻也就是它下行返回时经过这一位置的时刻(不考虑日期)．由航行时刻表中可以查出，这样的位置共有五处，这五处分别位于：上海——南通段、江阴——泰州段、羌湖——铜陵段、安庆——九江段、黄石——鄂州段．

对于上行船能与五条下行船相遇的情景，还可以借助于图像来理解，为使问题简化，可略去船在途中各站的停靠时间，并假定船的上行(或下行)的速度大小是保持不变的．如图表示船的位置与时间的关系．

图中实线表示由上海至武汉的某一“江汉”轮的位置时间关系，长画虚线则表示若干下行船的位置时间关系，图中的A、B、C、D、E五点就是上行船与各下行船的相遇点．可见这条上行船在全航程中将与五条下行船相遇．

速度问题四

如图所示，静止的传送带上有一木块正在匀速下滑，当传送带突然向下开动时，木块滑到底部所需时间t与传送带始终静止不动所需时间t₀相比是（　）
　　 A．t＝t₀

B．t＜t₀

C．t＞t₀

D．A、B两种情况都有可能

思路点拨

设木块原来在传送带上匀速下滑的速度为v₀，又设传送带突然向下开动后传送带突然获得的速度为v’．则若v₀＞ v’，即使传送带突然运动后，传送带的速度仍小于木块的速度，则木块相对于传送带的运动方向仍然是向下，木块受到传送带的摩擦力仍为方向沿传送带向上的滑动摩擦力，且此摩擦力的大小不变，即木块受力情况和传送带原来静止时的受力情况相同，则木块将仍以原速度v₀继续匀速下滑．木块滑至底部所需的时间不变，即t＝t₀．

若v₀＜v’，即传送带突然运动后，传送带的速度大于木块的速度，则木块相对于传送带的运动方向向上，木块受到传送带的摩擦力的方向将改为向下，由此木块将加速下滑，而木块滑至底部所需的时间将会缩短，即t＜t₀

答案：D

引申拓展

本题所述木块与传送带问的摩擦力为滑动摩擦力，关于它，有两点值得注意：

其一是滑动摩擦力的方向．木块所受滑动摩擦力的方向总是与它相对于传送带的运动方向相反．所以，传送带不动时，木块相对于传送带向下运动，木块所受摩擦力的方向是沿传送带向上；传送带也向下运动时，若传送带的速度小于木块的速度，则木块相对于传送带的运动方向仍然是向下，木块所受摩擦力的方向仍然是沿传送带向上；若传送带向下运动的速度大于木块运动的速度，则木块相对于传送带的运动方向是向上，木块所受摩擦力的方向是沿传送带向下．

其二是滑动摩擦力的大小．由于滑动摩擦力的大小只与正压力的大小和接触面的情况有关而与两相对滑动的物体间的相对运动速度的大小无关，所以在上述的几种情况下，物体所受滑动摩擦力的大小是相等的．

速度问题五

小华在假期探望外祖母，他乘坐火车时发现，每经过铁轨接头处，车身都要振动一次，他还发现，火车进山洞前的一瞬间要鸣笛一次。小华恰好坐在车尾，从听到笛声到车尾出洞，小华共数出84次车身振动，所用的时间是1min45s。若车身总长175m，每节铁轨长12.5m，山洞的长度是多少？当时火车的速度是多少？（设火车一直匀速直线行驶，声音在空气中的传播速度是340m/s。）

解：1min45s＝105s。

车速

设车身长为l，山洞长为L，

小华听到笛声时，车进洞距离为l^'，笛声传播距离为l－l^'

所用时间为 或

于是有 或

代入数据，得：l^'= _.

小华从听到笛声到火车车尾出洞，行驶的距离为l＋L－l^'＝v×105s。

代入数据，得：L＝880m。

速度问题六

1．某人上午8：00从起点出发，途径三个不同的路段，先是上坡路，然后是较平直的路，最后是一段下坡路，三路段的长度均相同，在三个路段上的平均行驶速度之比为1∶2∶3，此人中午12：00正好到达终点．则上午10：00时他行进在（ ）
A．上坡路段 B．平直路段 C．下坡路段 D．无法判断
思路点拨

以s表示每段路的长度，以t₁、t₂、t₃分别表示该人先后通过三段路所用的时间，以v₁、v₂、v₃分别表示该人通过三段路对应的平均速度，则依题述条件可得

说明上午10时，该人还在上坡路段行进

答案：A

2.公路路边每隔1km有一个里程碑，标明公路起点到此碑的距离，单位是km。设计一种方法，利用里程碑和手表测量自行车以中等速度匀速行驶时的速度，并给出计算公式，计算结果以km／h为单位。为了减少测量中的误差，请你至少提出两点注意事项。

答：在自行车行驶过程中，选定一段比较平整的公路，先记下经过某一里程碑的时刻t₁和里程碑的标数L₁，匀速行驶几km之后，记下经过另一里程碑的时刻t₂和里程碑的标数L₂（t₁和t₂均以秒计），则自行车行驶的速度为：

为了减少误差，要做到：

(1)车行速度稳定后才能记录t₁和L₁。

(2)使用有秒针的指针式手表或可以读秒的数字式手表。

(3)行驶距离应为几千米，不能太短或太长。