平面的基本性质

1.平面——无限延展，无边界

1.1三个定理与三个推论

公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

用途：常用于证明直线在平面内.

图形语言： 符号语言：

公理2：不共线的三点确定一个平面. 图形语言：

推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言：

推论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：

推论3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言：

用途：用于确定平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.

用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.

图形语言： 符号语言：

形语言，文字语言，符号语言的转化：

（二）空间图形的位置关系

1.空间直线的位置关系：

平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：

等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。

图形语言： 符号语言：

异面直线所成的角：（1）范围： ；（2）作异面直线所成的角：平移法.

如右图，在空间任取一点O，过O作 ，则 所成的 角为异面直线 所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.

2.直线与平面的位置关系：

图形语言：

3.平面与平面的位置关系：

（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）

1.线面平行：

①定义：直线与平面无公共点.

②判定定理： （线线平行 线面平行）【如图】

③性质定理： （线面平行 线线平行）【如图】

④判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）： （用于判断）；（ii）判定定理： “线线平行 面面平行”（用于证明）；（iii） “面面平行 线面平行”（用于证明）；（4） （用于判断）；

2.线面斜交：

①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。【如图】 于O，则AO是PA在平面 内的射影，则 就是直线PA与平面 所成的角。

范围： ，注：若 ，则直线 与平面 所成的角为 ；若 ，则直线 与平面 所成的角为 。

3.面面平行：

①定义： ；

②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；

符号表述： 【如下图①】

图① 图②

推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行

符号表述： 【如上图②】

判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述： .【如右图】

③判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及推论（常用）（3）判定2

④面面平行的性质：（1） （面面平行 线面平行）；（2） ；（面面平行 线线平行）（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如图】

（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）

1.线面垂直

①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

符号表述：若任意 都有 ，且 ，则 .

②判定定理： （线线垂直 线面垂直）

③性质：（1） （线面垂直 线线垂直）；（2） ；

④证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；（3） （较常用）；（4） ；（5） （面面垂直 线面垂直）常用；

⑤三垂线定理及逆定理：

（I）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中， （1）斜线相等 射影相等；（2）斜线越长 射影越长；（3）垂线段最短。【如图】 ；

（II）三垂线定理及逆定理：已知 ，斜线PA在平面 内的射影为OA， ，

①若 ，则 ——垂直射影 垂直斜线，此为三垂线定理；

②若 ，则 ——垂直斜线 垂直射影，此为三垂线定理的逆定理；

三垂线定理及逆定理的主要应用：（1）证明异面直线垂直；（2）作、证二面角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如图】

3.2面面斜交

①二面角：（1）定义：【如图】

范围：

②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法.

3.3面面垂直

（1）定义：若二面角 的平面角为 ，则 ；

（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

（线面垂直 面面垂直）

（3）性质：①若 ，二面角的一个平面角为 ，则 ；

② （面面垂直 线面垂直）；

③ . ④